Giải Bài 3 Trang 37 Chuyên đề Học Tập Toán 10 – Cánh Diều>


Đề bài

Chứng minh \(C_n^0{3^n} + C_n^1{3^{n – 1}} + … + C_n^k{3^{n – k}} + … + C_n^{n – 1}3 + C_n^n\)

\( = C_n^03 + C_n^13 + … + C_n^k{3^k} + … + C_n^{n – 1}{3^{n – 1}} + C_n^n{.3^n}\) với \(0 \le k \le n,n \in \mathbb{N}\)

Phương pháp giải – Xem chi tiết

Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức nhị thức Newton ta có:

\({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0.{a^n}.{b^0} + C_n^1{a^{n – 1}}.{b^1} + … + C_n^k{a^{n – k}}.{b^k} + … + C_n^{n – 1}a.{b^{n – 1}} + C_n^n.{a^0}.{b^n}\)

Thay \(a = 3,b = 1\) ta được

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {3 + 1} \right)^n} = C_n^0{.3^n}{.1^0} + C_n^1{3^{n – 1}}{.1^1} + … + C_n^k{3^{n – k}}{.1^k} + … + C_n^{n – 1}{3.1^{n – 1}} + C_n^n{.3^0}{.1^n}\\ \Rightarrow {4^n} = C_n^0{3^n} + C_n^1{3^{n – 1}} + … + C_n^k{3^{n – k}} + … + C_n^{n – 1}3 + C_n^n\end{array}\)

Thay \(a = 1,b = 3\) ta được

\(\begin{array}{l}{\left( {1 + 3} \right)^n} = C_n^0{.1^n}{.3^0} + C_n^1{1^{n – 1}}{.3^1} + … + C_n^k{1^{n – k}}{.3^k} + … + C_n^{n – 1}{1.3^{n – 1}} + C_n^n{.1^0}{.3^n}\\ \Rightarrow {4^n} = C_n^03 + C_n^13 + … + C_n^k{3^k} + … + C_n^{n – 1}{3^{n – 1}} + C_n^n{.3^n}\end{array}\)

Suy ra điều phải chứng minh



Source link edu en vn

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *